算法 最长公共子序列.docx

算法之最长公共子序列 最长公共子序列是算法领域中的一种经典问题，旨在寻找两个序列之间的最长公共子序列。该问题广泛应用于数据压缩、数据挖掘、模式识别等领域。 问题描述：给定两个序列 Xi = <x1, x2, … , xi>和 Yj = <y1, y2, …, yj>，寻找两个序列之间的最长公共子序列。该问题可以通过动态规划法来解决。 动态规划法是解决最长公共子序列问题的常用方法。该方法通过构建一个二维数组 C[i, j]，其中 C[i, j] 表示 Xi 和 Yj 的最长公共子序列的长度。数组 C[i, j] 的递推关系如下： * 当 i = 0, j = 0 时，C[i, j] = 0 * 当 i, j > 0; xi = yi 时，C[i, j] = C[i-1, j-1] + 1 * 当 i, j > 0; xi != yi 时，C[i, j] = max{C[i, j-1], C[i-1, j]} 该递推关系可以自底向上地构建，从而计算出 Xi 和 Yj 的最长公共子序列的长度。 算法实现： 下面是一个使用 C++ 语言实现的算法，用于计算最长公共子序列的长度和构建最长公共子序列： ```cpp #include <iostream> #include <string> using namespace std; // 计算最优值 void LCSLength(int m, int n, char *y, char *x, int c, int b) { int i, j; for (i = 1; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for (j = 0; j <= n; j++) c[0][j] = 0; for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++) { if (x[i] == y[j]) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 1; } else if (c[i-1][j] >= c[i][j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 2; } else { c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = 3; } } } // 构造最长公共子序列 void LCS(int i, int j, char *x, int b) { if (i == 0 || j == 0) return; if (b[i][j] == 1) { LCS(i-1, j-1, x, b); cout << x[i]; } else if (b[i][j] == 2) LCS(i-1, j, x, b); else LCS(i, j-1, x, b); } // 主函数 int main() { int m, n; char *x, *y; int b, c; void LCSLength(int m, int n, char *y, char *x, int c, int b); void LCS(int i, int j, char *x, intb); cout << "请输入两个序列的长度：" << endl; cin >> m >> n; x = new char[m]; y = new char[n]; cout << "请输入两个序列：" << endl; cin >> x >> y; b = new int *[m + 1]; for (int i = 0; i <= m; i++) b[i] = new int[n + 1]; c = new int *[m + 1]; for (int j = 0; j <= m; j++) c[j] = new int[n + 1]; LCSLength(m, n, x, y, c, b); cout << "最长公共子序列的元素个数为" << c[m][n] << endl; cout << "该序列为:"; LCS(m, n, x, b); cout << endl; return 0; } ``` 运行结果： ``` 请输入两个序列的长度：5 5 请输入两个序列：dfdhh dfdgh 最长公共子序列的元素个数为 4 该序列为: dfdh ``` 通过动态规划法可以解决最长公共子序列问题，并可以应用于实际问题中。