算法设计与分析-最长公共子序列问题-动态规划算法.docx

最长公共子序列（LCS）问题是计算机科学中经典的算法问题，它在多个领域如生物信息学、文本比较和版本控制等中有着广泛的应用。LCS问题的目标是找到两个序列最长的公共子序列，这里的子序列并不需要是连续的。例如，序列"ABACBDAB"与"BDAB"的最长公共子序列是"BAD"。 动态规划算法是解决LCS问题的有效方法之一，它通过建立一个二维数组来保存子问题的解，从而避免重复计算，提高算法效率。在动态规划中，子问题的最优解可以从已解决的子问题中构造出来，这就是最优子结构的概念。具体到LCS问题中，最优子结构体现在任何包含在LCS中的子序列本身也是两个子序列的LCS。 动态规划算法的核心在于构造一个递归关系式，该式表达了整个问题的解与更小规模子问题的解之间的关系。具体实现中，算法首先初始化一个二维数组，数组的每一行和每一列对应输入序列的元素，数组中的值表示到当前位置为止最长公共子序列的长度。然后通过迭代填充整个数组，直至计算出整个LCS的长度。最终，数组中的右下角元素就是两个序列的最长公共子序列长度。 在动态规划算法中，数组的每一项是通过考虑当前序列元素是否相等来填充的。如果相等，则该位置的值为对角线上方格子的值加1；如果不相等，则取上方格子与左方格子中的较大值。额外的数组s用来记录状态，指示当前位置的最长公共子序列是通过哪一种情况计算得来的。 动态规划算法解决LCS问题的整个过程可以通过程序代码实现，代码中需要定义两个字符串数组x和y来存放输入的两个序列，同时定义c数组和s数组来保存最长公共子序列的长度和状态。通过双重循环遍历序列x和y的每个元素，并逐步填充c数组和s数组。填充完毕后，c数组的最后一个元素即为LCS的长度。 输出LCS的具体内容可以通过回溯算法来实现。回溯算法从c数组的最后一个元素开始，根据s数组中的状态，逆向遍历数组，直到到达数组的起始位置。这个过程中，根据s数组的值判断是需要向左移动、向上移动，还是同时向上和向左移动，最终构造出LCS序列。 以上就是动态规划算法在解决LCS问题中的关键知识点。该算法的设计体现了动态规划解决问题时的通用思路：分解子问题、构造递归关系、避免重复计算和存储中间结果以快速获取最终解。