实验目的：掌握使用动态规划策略编程实现最长公共子序列；
实验原理：动态规划算法设计。
实验要求：基本掌握动态规划算法的原理方法。熟练掌握VC++中编程实现算法的常用技术和方法。
问题描述：给定两个序列X = { x1 , x2 , ... , xm }Y = { y1 , y2 , ... , yn }求X和Y的一个最长公共子序列
### 实验三：最长公共子序列
#### 实验目的
本次实验旨在使学生掌握如何运用动态规划策略来解决最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题，并通过编程实践加深对动态规划算法的理解。
#### 实验原理
**动态规划算法设计**是一种通过将复杂问题分解成更简单的子问题来解决问题的方法。对于最长公共子序列问题，其核心思想是利用子问题的解来构建原问题的解，同时避免重复计算相同子问题的解。动态规划适用于具有**最优子结构性质**的问题，即问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构成。
#### 实验要求
1. **基本掌握动态规划算法的原理方法**：了解动态规划的基本概念、特点及其适用范围。
2. **熟练掌握VC++中编程实现算法的常用技术和方法**：能够使用VC++进行算法开发，并熟悉其中的数据结构、控制流等基础知识。
#### 问题描述
给定两个序列X = { x1, x2, ..., xm } 和 Y = { y1, y2, ..., yn }，目标是找出这两个序列的一个最长公共子序列。
#### 解决方案分析
为了解决这个问题，我们需要考虑以下几个关键点：
1. **最优子结构**：
- 如果最后一个元素相同（即xm = yn），那么这个元素必定包含在最长公共子序列中，可以进一步考虑X[m-1]和Y[n-1]的最长公共子序列问题。
- 如果最后一个元素不同（即xm != yn），则需要考虑两种情况：一个是去掉X的最后一个元素；另一个是去掉Y的最后一个元素。选择两者中较长的子序列作为结果。
2. **状态转移方程**：
- 当i = 0 或 j = 0 时，表示其中一个序列为空，此时最长公共子序列长度为0。
- 当i > 0 且 j > 0 时：
- 如果xi = yi，则c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1。
- 如果xi != yi，则c[i][j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]}。
3. **代码实现**：
- 使用二维数组c[][]记录最长公共子序列的长度。
- 使用一个额外的一维数组b[]记录回溯路径。
- 通过递归函数LCS()从m和n处开始回溯，构造最长公共子序列。
#### 示例代码解析
```cpp
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX 100
void LCSLength(int m, int n, char* x, char* y, char* b) {
int i, j, k;
int c[MAX][MAX];
// 初始化
for (i = 1; i <= m; i++) {
c[i][0] = 0;
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
c[0][i] = 0;
}
// 计算最长公共子序列的长度
for (i = 1; i <= m; i++) {
for (j = 1; j <= n; j++) {
if (x[i - 1] == y[j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
k = i * (n + 1) + j;
b[k] = '\\';
} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
k = i * (n + 1) + j;
b[k] = '|';
} else {
c[i][j] = c[i][j - 1];
k = i * (n + 1) + j;
b[k] = '-';
}
}
}
}
void LCS(int i, int j, char* x, char* b, int width) {
if (i == 0 || j == 0) return;
int k = i * (width + 1) + j;
if (b[k] == '\\') {
LCS(i - 1, j - 1, x, b, width);
cout << x[i - 1] << endl;
} else if (b[k] == '|') {
LCS(i - 1, j, x, b, width);
} else {
LCS(i, j - 1, x, b, width);
}
}
int main() {
char x[MAX] = {'a', 'b', 'c', 'b', 'd', 'a', 'b'};
char y[MAX] = {'b', 'd', 'c', 'a', 'b', 'a'};
int m = 7;
int n = 6;
char b[MAX * (n + 1)] = {0};
LCSLength(m, n, x, y, b);
LCS(m, n, x, b, n);
cout << endl << endl;
return 0;
}
```
#### 总结
本实验通过具体实例讲解了如何使用动态规划策略来解决最长公共子序列问题，并给出了具体的实现代码。通过该实验，学生不仅能够学习到动态规划的基本思想，还能够在实际编程中得到应用，从而更好地理解和掌握这一重要的算法技术。
