北京理工大学《数学分析B》2005-2006学年第二学期期末试题（A卷）1

这份北京理工大学《数学分析B》2005-2006学年第二学期期末试题（A卷）涉及了多个数学分析中的核心知识点，主要包括微积分、级数收敛性判断、多元函数微积分以及曲面积分等内容。以下是这些知识点的详细解析： 1. 微分与偏导数： 题目要求求解偏导数`∂zu/∂x`, `∂zu/∂y`以及全微分`du`，这涉及到多元函数的偏导数计算。对于`∂zu/∂x`和`∂zu/∂y`，我们需要分别对`z`关于`x`和`y`求偏导，而全微分`du`则需要同时考虑`z`关于`x`和`y`的偏导数。 2. 曲线的切线方程： 求与平面平行的切线方程需要找到曲线在特定点的斜率，然后用点斜式写出直线方程。这里需利用曲线参数方程的导数来确定切线斜率。 3. 极坐标下累次积分： 将直角坐标系下的积分转化为极坐标下的累次积分，关键在于应用极坐标变换公式`x=ρcosθ`, `y=ρsinθ`和`dxdy=ρdρdθ`。然后按照边界条件调整积分限。 4. 级数收敛性的判断： 判断级数的敛散性通常需要用到级数收敛的判别法，如比值判别法、交错级数判别法、绝对收敛与条件收敛的关系等。对于给定的级数，可能需要分析通项的极限或者比较通项的大小。 5. 第一类曲面积分： 计算曲面积分涉及到格林公式的应用，需要找到合适的积分变量转换和被积函数，然后根据曲面的边界条件进行积分。 6. 傅里叶级数： 傅里叶级数是将周期函数展开为三角级数的过程，要求出傅里叶系数，然后计算和函数的特定值。 7. 曲线积分： 曲线积分分为两类：第一类曲线积分和第二类曲线积分，此处可能是格林公式的逆运算，要求解路径依赖的积分。 8. 功率级数展开与收敛域： 展开函数为幂级数，需要利用泰勒公式，找出函数在某点的泰勒展开式，并确定收敛域。 9. 立体的质量和质心： 立体质量的计算涉及到积分密度函数，质心的坐标计算则需要对立体进行三次积分，每个坐标轴方向上的积分结果对应一个质心坐标。 10. 切平面的截距： 对于曲面上点的切平面，其在坐标轴上的截距可以通过点斜式或者一般式来确定，截距之积为常数涉及到曲面的几何性质。 11. 收敛区间与和函数： 幂级数的收敛区间可以通过比值判别法或根值判别法确定，和函数则需要通过系数的计算得到。 12. 曲面积分： 计算曲面积分通常需要使用斯托克斯定理或格林公式，涉及对函数的偏导数操作。 13. 函数解析延拓： 利用Cauchy-Riemann方程和洛朗级数，可以求出函数在特定区域的解析延拓。 14. 密度函数与积分： 根据密度函数和体积积分，可以求出立体的质量和质心。 15. 切平面的截距性质： 切平面在坐标轴上的截距之积为常数，说明曲面上每点的切平面具有一致的性质，这与曲面的几何特性有关。 以上是题目中涉及的主要数学分析概念和方法，它们是高等数学学习的重要组成部分。通过这些问题的解答，学生可以加深对多元微积分、级数理论和复变函数的理解。